Dynamika - Zasady Dynamiki Newtona - zadanie 2 - Fizyka Dla Każdego

czwartek, 27 października 2011 23:29

Dynamika - Zasady Dynamiki Newtona - zadanie 2

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Comments (2)

Oceń ten artykuł

(6 głosów)

W wesołym miasteczku znajduje się karuzela z krzesełkami zawieszonymi na łańcuchach o długości 2 m.
Jaką siłę muszą wytrzymać łańcuchy, jeżeli w czasie obrotu łańcuchy odchylają się o kąt równy 30 stopni od pionu?
Jaka jest wtedy częstotliwość obrotu karuzeli?
Przyjąć, że maksymalna masa pasażera wraz z krzesełkiem wynosi 200 kg. Krzesełka są zawieszone w odległości 3 m od osi obrotu.

Dane:

$\alpha = 30^{\circ}$

a = 3m

Najważniejszy jest rysunek, korzystamy z geometrycznych zależności między siłami na rysunku.

fizyka-zadanie-dynamika-rysunek-zasady-dynamiki-newtona

fizyka-zadanie-dynamika-rysunek-zasady-dynamiki-newtona

Jak widzimy na rysunku stosunek siły odśrodkowej do ciężaru pasażera wraz z krzesełkiem jest równy tangensowi kąta odchylenia od pionu łańcuchów.
Możemy tę zależność zapisać matematycznie:

$\frac{F_d}{Q}=\tan \alpha$

Prekształcamy powyższe równanie do najprostszej postaci:

$\frac{mv^2}{r}=mg\tan \alpha$

$v^2=r g\tan \alpha$

Znając zależność między prędkością kątową a liniową oraz wzór na prędkość kątową oba podane poniżej, możemy z powyższego równania wyprowadzić wielkość pożądaną - częstotliwość obrotu

$v=\omega r$

$\omega=2\pi f$

Podstawiamy:
$(\omega r)^2=r g\tan \alpha$

$(2\pi f r)^2=r g\tan \alpha$

$4\pi^2 f^2 r^2=r g\tan \alpha$

$f^2= \frac{g\tan \alpha}{4\pi^2 r}$

$f=\sqrt{ \frac{g\tan \alpha}{4\pi^2 r} }$

Pojawia się tylko jeszcze jeden problem, nie mamy r (promienia ruchu kątowego), na szczęście znowu pomaga nam geometria rysunku, wystarczy zauważyć, że rysunek tworzy równoległobok prostokątny którego górna podstawa to odległość punktu zawieszenia łańcuchów od osi obrotu (3m) natomiast ramie jest długości łańcucha (2m) a podstawa dolna to wielkość r którą musimy wyznaczyć.

Korzystając z własności równoległoboku oraz funkcji trygonometrycznych możemy rozpisać wyrażenie na r:

$r=a+ c\cdot \sin\alpha$

Oraz wyznaczyć r jako wartość:
$r=3m+ 2m \cdot \sin 30^{\circ}=4m$

Wreszcie mając wszystkie wielkości podstawiamy do wzoru na częstotliwość i dostajemy wynik:

$f=\sqrt{ \frac{9.80665\frac{m}{s^2} \tan 30^{\circ}}{4\pi^2 \cdot 4m} }$

Pozostało nam jeszcze wyznaczyć masę, o dziwo okazuje się, że znowu najlepiej jest skorzystać z geometri rysunku.
Wiemy, że siła którą musi wytrzymać łańcuch to tak naprawdę naciąg łańcucha, można go wyznaczyć jako wypadkową siły odśrodkowej i ciężaru twierdzeniem pitagorasa.
Ale łatwiej będzie skorzystać z funkcji trygonometrycznych i wyznaczyć go z zależności między naciągem a ciężarem.

$\frac{Q}{N}=\cos \alpha$

$N=\frac{Q}{\cos \alpha}$

Ostatecznie:
$N=\frac{mg}{\cos \alpha}$

Wynik:
$N=\frac{200kg \cdot 9.80665\frac{m}{s^2}}{\cos 30^{\circ}}$

Dodatkowe informacje

Poziom kształcenia: szkoła średnia, liceum rozszerzony, uczelnia wyższa

Czytany 18353 razy Ostatnio zmieniany czwartek, 03 listopada 2011 21:25

Opublikowano w Zasady Dynamiki Newtona

Podziel się tym z innymi

dr inż. Paweł Troka

Owner & CEO
E-Mail: ptroka@fizyka.dk
PTroka on Google+

Strona: fizyka.dk