Rozkładanie wektorów na składowe
W działaniach na wektorach operuje się składowymi tych wektorów wyznaczonymi w wybranym układzie odniesienia.
Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych.?
Rys. Wektor r i jego składowe rx, ry, rz w pewnym układzie współrzędnych
Suma wektorów
W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych np.
a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3)
Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w tekście czcionką wytłuszczoną.
Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych
a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (rysunek poniżej).
Rys. Suma i różnica wektorów
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny dwóch wektorów a-b jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony przez cosinus kąta między nimi
Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych. Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości wektorowych jest praca. Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.
Iloczyn wektorowy
kierunek palców
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a x b jest nowym wektorem c, którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi
Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b. Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginaj ą się w kierunku obrotu wektora a do wektora b (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora c = a x b tak jak na rysunku poniżej
Warto skorzystać z programu symulującego dodawanie wektorów, doświadczalny aplet java poniżej:
Programik dotyczy sił działających na ciało (zaczepionych w jednym punkcie). Możesz zmieniać liczbę sił składowych (niebieskie strzałki). Ich wartości i kierunki zmienisz przesuwając groty strzałek za pomocą myszki do dowolnych, pożądanych pozycji (należy kliknąć na grot strzałki i trzymając naciśnięty lewy przycisk, przesuwać myszkę).
Jeśli chcesz otrzymać wypadkową siłę, działającą na ciało, musisz wykonać dodawanie wektorów. Gdy klikniesz na przycisk "Znajdź wypadkową", program pokaże ci równoległe przesunięcie wektorów i narysuje wektor siły wypadkowej (czerwony). Przesuwając myszką groty strzałek możesz zaobserwować, jak wypadkowa zmienia się wraz ze zmianą sił składowych.