Zadanie 3 - Mechanika relatywistyczna - długość pręta - Fizyka Dla Każdego

niedziela, 27 marca 2011 22:05

Zadanie 3 - Mechanika relatywistyczna - długość pręta

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Comments (2)

Oceń ten artykuł

(3 głosów)

Dwa pręty o długościach spoczynkowych l1 = 1.0m i l2 = 2.0 m leżące na pewnej prostej poruszają się wzdłuż tej prostej z prędkościami v1 = 0.8c i v2 = 0.6c względem laboratoryjnego układu odniesienia odpowiednio, gdzie c oznacza prędkość światła w próżni. Wyznaczyć długość drugiego pręta w układzie odniesienia związanym z pierwszym prętem, gdy:
a) oba pręty poruszają się w tę samą stronę;
b) pręty poruszają się na przeciw siebie.

Kliknij "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie!

Dane:
l_1=1m
l_2=2m
v_1=0.8c
v_2=0.6c

a)

Zgodnie z relatywistycznym odejmowaniem prędkości, prędkość drugiego pręta w układzie odniesienia związanym z pierwszym wynosi:

$v^{'}_{a}=\frac{v_{1}-v_{2}}{1-\frac{v_{1}v_{2}}{c^2}}$

$v^{'}_{a}=\frac{0,8c-0,6c}{1-\frac{0,8c \cdot 0,6c}{c^2}}$

$v^{'}_{a}=\frac{0,2c}{1-\frac{0,48c^2}{c^2}}$

$v^{'}_{a}=\frac{0,2c}{0,52}$

$v^{'}_{a}=\frac{5}{13}c$

Teraz pora wyznaczyć jego długość, jak wiemy zgodnie z STW zajdzie zjawisko nazywane skróceniem długości. Jako że mamy policzyć długość pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem będziemy używać prędkości pierwszego pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem, którą właśnie wyprowadziliśmy.

$l_{0}=\frac{l^{'}_{a}}{\sqrt{1-\frac{ v^{2}_{a}}{c^2}}}}$
Pamiętajmy że to lo jest spoczynkową (podaną w zadaniu) długością pręta a l' mamy obliczyć. Trzeba więc przekształcić wzór, przy okazji podstawiając dane:

${l^{'}_{a}} = l_{2} \sqrt{1-\frac{ (\frac{5}{13}c)^{2}}{c^2}}}$

${l^{'}_{a}} = l_{2} \sqrt{1- \frac{25}{169}}$

${l^{'}_{a}} = l_{2} \sqrt{\frac{144}{169}}$

${l^{'}_{a}} = \frac{12}{13}l_{2} =\frac{24}{13}m$

b)
Zgodnie z relatywistycznym dodawaniem prędkości, prędkość drugiego pręta w układzie odniesienia związanym z pierwszym wynosi:
$v^{'}_{b}=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+\frac{v_{1}v_{2}}{c^2}}$

$v^{'}_{b}=\frac{0,8c+0,6c}{1+\frac{0,8c \cdot 0,6c}{c^2}}$

$v^{'}_{b}=\frac{1,4c}{1+\frac{0,48c^2}{c^2}}$

$v^{'}_{b}=\frac{1,4c}{1,48}$

$v^{'}_{b}=\frac{35}{37}c$

Teraz pora wyznaczyć jego długość, jak wiemy zgodnie z STW zajdzie zjawisko nazywane skróceniem długości. Jako że mamy policzyć długość pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem będziemy używać prędkości pierwszego pręta w układzie odniesienia związanym z drugim prętem, którą właśnie wyprowadziliśmy.

$l_{0}=\frac{l^{'}_{b}}{\sqrt{1-\frac{v^2_b}{c^2}}}$
Pamiętajmy że to lo jest spoczynkową (podaną w zadaniu) długością pręta a l? mamy obliczyć. Trzeba więc przekształcić wzór, przy okazji podstawiając dane:

${l^{'}_{b}} = l_{2} \sqrt{1-\frac{ (\frac{35}{37}c)^{2}}{c^2}}}$