Elektrostatyka Zadanie 3 - Natężenie Pola Elektrycznego i Potencjał Elektryczny na symetralnej - Fizyka Dla Każdego

wtorek, 23 listopada 2010 20:27

Elektrostatyka Zadanie 3 - Natężenie Pola Elektrycznego i Potencjał Elektryczny na symetralnej

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Comments (12)

Oceń ten artykuł

(3 głosów)

Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego E na symetralnej odcinka o długości 2d na końcach którego znajdują się ładunki Q i ? Q
W którym punkcie symetralnej natężenie pola jest maksymalne?
Obliczyć natężenie pola i potencjał w tym punkcie.

Zobacz rozwiązanie! - kliknij na napis "więcej" znajdujący się poniżej.

Warto wykonać rysunek (poniższy jest bardzo poglądowy i są na nim błędne oznaczenia):

Rysunek Fizyka Zadanie z Elektrostatyki Natężenie Pola Elektrycznego E i Potencjał Elektryczny na symetralnej - wyznaczyć

Na rysunku rozważamy hipotetyczny punkt B, wiemy że natężenie pola elektrostatycznego (wypadkowe) w tym punkcie jest sumą wektorów natężeń obu ładunków w tym punkcie, możemy to zapisać jako:

$\overrightarrow{E_{wB}}=\overrightarrow{E_{Ba}}+\overrightarrow{E_{Bb}}$

Zapisać możemy skalarnie, dodawanie składowych powyższych wektorów:
(1)

$E_{wB}=E_{1B}+E_{2B}=\frac{kQ}{r^{2}_{B}} \cos \alpha+\frac{kQ}{r^{2}_{B}} \cos \alpha$

Jak widzimy wszystko zależy od odległości od punktu na symetralnej. Teraz należy uogólnić, możemy to zrobić na niejeden sposób:

a) Wykorzystując kąt

$\frac{d}{r_{B}}=\cos \alpha$

$r_{B}=\frac{d}{\cos \alpha }$

Więc wstawiając i uogólniając, mamy, że:

$E_{w}=\frac{2kQ}{\frac{d^2}{\cos ^2\alpha }} \cos \alpha=\frac{2kQ }{d^2}\cos ^2\alpha\cos \alpha=\frac{2kQ }{d^2}\cos ^3\alpha$

b) Po prostu wykorzystując odległość punktu B od środka symetralnej:
Z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2}_{B}=y^{2}_B+d^2$

Wstawiamy to do równania (1)i mamy:

$E_{w}=\frac{2kQ}{d^2+y^{2}_{B}}\cos \alpha$

Obie metody są poprawne i tak naprawdę obie zwracają te same wyniki.

Teraz zajmijmy się punktem symetralnej w którym natężenie pola jest maksymalne i policzmy jego wartość.
Oczywistym jest że będzie nam to bardzo łatwo zrobić gdyż mamy dane wzory ogólne na to:

Z równania wcześniej wyprowadzonego:

Widzimy że będzie ono maksymalne dla maksymalnej wartości funkcji cosinus (bo tylko to się zmienia przy zmianie położenia tego punktu na symetralnej). A wiemy że cosinus przyjmuje maksymalną wartość dla kąta zero stopni, więc będzie to dokładnie w środku symetralnej (w miejscu przecięcia symetralnej z odcinkiem 2d)

I jest to wartość:

$(\cos^3 \alpha)_{max}=1$

Możemy więc policzyć tę wartość:
$E_{wyp_{max}}=\frac{2kQ}{d^2}\cos ^3 \alpha_{max}=E_{wyp_{max}}=\frac{2kQ}{d^2}$

Identycznie będzie dla uogólnienia b) tyle tylko że zamiast kąta, wiemy że maksymalna wielkość będzie dla minimalnej w mianowniku, a zmienia się wraz ze zmianą położenia punktu na symetralnej tylko y, odległość punktu od miejsca przecięcia symetralnej z odcinkiem 2d. Aby więc natężenie było największe odległość ta powinna wynosić najmniej, czyli zero:

$E_{wmax}=\frac{2kQ}{d^2+0^{2}}=\frac{2kQ}{d^2}$

Potencjał będzie już łatwiej wyliczyć w tym punkcie, ponieważ jest to zwykła wielkość skalarna, więc:

$V_{0}=V_{Q}+V_{-Q}$

Punkt nazwałem punktem zero, bo znajduje się w początku układu współrzędnych.

$V_{0}=\frac{kQ}{r^{2}_{B}}+\frac{k(-Q)}{r^{2}_{B}}=0$
Wynik ten nie powinien zaskakiwać ze względu na różnoimienne ładunki oraz ich równe odległości do punktu na symetralnej. Argumentacja słowna równie dobrze wystarczyłaby za odpowiedź.

Dodatkowe informacje

Poziom kształcenia: liceum rozszerzony, uczelnia wyższa

Czytany 18432 razy Ostatnio zmieniany czwartek, 27 października 2011 20:43

Opublikowano w Elektrostatyka

Z etykietą

Podziel się tym z innymi

dr inż. Paweł Troka

Owner & CEO
E-Mail: ptroka@fizyka.dk
PTroka on Google+

Strona: fizyka.dk