Przekształcanie wzorów - poradnik dla początkujących - Fizyka Dla Każdego

sobota, 22 marca 2014 12:26

Przekształcanie wzorów - poradnik dla początkujących ^Wyróżniony

Napisał mgr inż. Kordian Czyżewski

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Comments (3)

Oceń ten artykuł

(15 głosów)

Przekształcanie wzorów - dwa słowa, które u wielu wywołują dreszcz. Dwa słowa, które w wielu wypadkach czynią z fizyki naukę niezrozumiałą. Często padają głosy, że przekształcanie wzorów jest zbyt trudne, że nie warto zawracać sobie nim głowy, że przecież można działać na danych liczbowych. W poniższym artykule postaram się wyłożyć w prosty sposób metody przekształcania wzorów oraz dodatkowo kilka wizualnych technik, które znacznie ułatwią pracę dla początkujących.

Pomimo, iż przekształcanie wzorów fizycznych wydaje się bardzo skomplikowane, tak naprawdę przekształcając wzór możemy podjąć zaledwie kilka działań. Możemy zatem:
1. Pomnożyć obie strony równania przez dowolny czynnik.

$\frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}|T_{2}$

$\frac{p_{1}T_{2}}{T_{1}}$

2. Przenosić składnik z prawej strony równania na lewą i z lewej na prawą (pamiętając przy tym o zmianie znaku składnika przy przenoszeniu z jednej strony na drugą)

$-mgh+\frac{mv^{2}}{2}=0$

$\frac{mv^{2}}{2}=mgh$

3. Możemy dokonowywać operacji znanych z elementarnej matematyki - skracać, sprowadzać do wspólnego mianownika. wyłączać wspólny czynnik, podnosić całość równania do dowolnej potęgi (w tym pierwiastkować).

$v^{2}=2gh$

$v=\sqrt{2gh}$

4. Wreszcie możemy też podstawiać do równania różne tożsamości lub inne wzory fizyczne (np. v=at ) - ten typ operacji staje się szczególnie ważny przy bardziej zaawansowanych problemach fizycznych, jednak przekształcając nawet proste wzory warto o niej pamiętać. Przykład kilku przekształceń(wyznaczenie czasu spadku swobodnego):

$v=\sqrt{2gh} \quad v=gt$

$gt=\sqrt{2gh}|\frac{1}{g}$

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

5. W bardziej zaawansowanych typach zadań, pojawiać się będą też operacja całkowania i różniczkowania, w tym artykule nie będziemy jednak podejmować tej tematyki.
Przekształcenia te nie są oczywiście "sztuką dla sztuki". Opisane wyżej operacje wykonowywane są zawsze w pewnym celu. Tym celem jest zwykle wyznaczenie ze znanego prawa fizyki innej wielkości (na przykład wyznacznie prędkości ze wzoru na energię mechaniczną) - i wszystkie przekształcenia jakich dokonujemy mają na celu doprowadzenie nas do szukanej wielkości.
W tym momencie warto wspomnieć o paru prostych trickach, które ułatwią nam całe zadanie. Przeważająca większość ludzi to tak zwani "wzrokowcy" - opierają pamięć i kojarzenie przede wszystkim na zmyśle wzroku. Skorzystajmy z tego faktu - jeżeli masz duże problemy z przekształcan iem wzorów zaopatrz się w 4 różne kolory długopisów.Przykładowo czerwony i niebieski będą służyły do zapisywania wyrazów lewej i prawej strony równania, zielonym będą dopisywane po prawej stronie czynniki mnożące całe równanie, natomiast znak równości pozostanie czarny. Taki system będzie nam przypominać o:
1. Zmianie znaku przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę - zmieniam kolor, zatem zmieniam znak.
2. Będziemy też pamiętać o tym by przy mnożeniu obu stron równania, czynnik mnożąc się nie gubił tylko mnożył obie strony - tutaj na pomoc przychodzi prosta mnemnotechnika. Każdy zna schemat kolorów RGB. Czynnik mnożąc obie strony zaznaczaliśmy na zielono - przypominamy literki RGB - R na lewo od G i B na prawo od G - i natychmiast widać, że w następnej linii przekształceń czynnik powinien się pojawić po obu stronach i w odpowiednim kolorze.
Przejdźmy teraz do algorytmu przekształcania wzorów - opiszę tutaj kolejne kroki jakie należy wykonać by wyznaczyć wielkość z danego wzoru. Dla ułatwienia będę cały czas posługiwał się przykładem - wyznaczenie minimalnej prędkości przejścia przez tzw. martwą pętlę. Promień pętli oznaczymy jako , przyspieszenie ziemskie masę ciała a jego szukaną prędkość oznaczymy . Zagdnienie sprowadza się do wyznaczenia prędkości z warunku równowagi sił (ciężaru i siły dośrodkowej) w najwyższym punkcie pętli - klasyczne zadanie z przekształcania prostych wzorów.

${\color{blue}-mg+\frac{mv^{2}}{R}}={\color{red}0}$
Wiedząc, jaką wielkość mamy określić zaznaczamy (wraz ze znakiem) w równaniu wszystkie wyrazy zawierające szukaną wielkość (nie zwracamy w tym uwagi w jakiej potęgę szukanej wielkości).

${\color{blue}-mg+\frac{mv^{2}}{R}}={\color{red}0}$

${\color{blue}-mg+\mathbf{\frac{mv^{2}}{R}}}={\color{red}0}$

Następnie przenosimy wszystkie wyrazy zawierające szukaną wielkość na lewą stronę, natomiast wyrazy niezawierające szukanej wielkość na prawą stronę - cały czas pamiętając o zmianie znaków, przy zamianie stron!

${\color{blue}-mg+\mathbf{\frac{mv^{2}}{R}}}={\color{red}0}$

${\color{blue}\frac{mv^{2}}{R}}={\color{red}mg}$

Jeżeli jest to konieczne to po lewej stronie wyłączamy szukany czynnik (w odpowiedniej potędze) natomiast resztę zapisujemy w nawiasie (tzw. wyłączanie przed nawias). Teraz oceniamy prawą i lewą stronę - może się okazać, że po lewej i prawej stronie występują takie same wielkości - możemy je wówczas skrócić.

${\color{blue}\frac{mv^{2}}{R}}={\color{red}mg}$

${\color{blue}\frac{\not m v^{2}}{R}}={\color{red} \not m g}$

${\color{blue}\frac{v^{2}}{R}}={\color{red}g}$

Co miało zostać przeniesione, zostało przeniesione, co miało zostać skrócone - skróciliśmy. W tym momencie pozostaje obustronne mnożenie równania w celu pozostawienia po lewej stronie. Zaznaczam mnożenie.

Chciałbym tutaj przestrzec przed zapisywaniem dzielenia z użyciem dwóch kropek, czyli tzw. "biedronki". Być może, dla wielu wyda się to nadmiernym komplikowaniem, ale tak naprawdę, to zapisywanie dzielenia poprzez dwie kropki utrudnia całe zadanie. Skąd wynika taka obserwacja? Jak wcześniej napisałem zdecydowana większość ludzi używa jakieś formy orientacji wzrokowej. Zapis z użyciem kreski ułamkowej ma więc przewagę - wyraźnie widzimy, że "dzielimy" i jest to czytelniejsze niż "biedronka", a im bardziej złożony wzór przekształcamy, tym zyski z takiego podejścia są większe - zamiast dzielenia mnóżmy przez odwrotność danej wielkości.
Wobec tego zapisujemy

${\color{blue}\frac{v^{2}}{R}}={\color{red}g}{\color{green}|R}$

${\color{blue}v^{2}}={\color{red}gR}$

Na koniec dokonujemy pierwiastkowania całego równania
${\color{blue}v}={\color{red}\sqrt{gR}}$
Podsumowując w niniejszym artykule opisałem metodykę przekształcania wzorów silnie opartą na postrzeganiu wzrokowym - zachęcam do jej przestestowania oraz stosowania.
Zapraszam też Czytelników do dzieleniu się w komentarzach własnymi spotrzeżeniami lub technikami nałatwe przekształcanie wzorów.

Czytany 43670 razy Ostatnio zmieniany niedziela, 23 marca 2014 18:23

Opublikowano w Wyprowadzenia wzorów

Podziel się tym z innymi

mgr inż. Kordian Czyżewski

specjalność: opracowania teoretyczne
E-Mail: kordiancz25@wp.pl

Przekształcanie wzorów - poradnik dla początkujących Wyróżniony

mgr inż. Kordian Czyżewski

Najnowsze od mgr inż. Kordian Czyżewski

Przekształcanie wzorów - poradnik dla początkujących ^Wyróżniony