Mechanika kwantowa - podstawy zadanie 9 - cząstka alfa w jednorodnym polu magnetycznym - Fizyka Dla Każdego

Fizyka

Zadania

Mechanika kwantowa

Mechanika kwantowa - podstawy zadanie 9 - cząstka alfa w jednorodnym polu magnetycznym

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

czwartek, 25 listopada 2010 04:46

Mechanika kwantowa - podstawy zadanie 9 - cząstka alfa w jednorodnym polu magnetycznym

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (3)

Oceń ten artykuł

(2 głosów)

Cząstką alfa porusza się w próżni po okręgu o promieniu R=5cm w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B=2,5 * 10^-2 T.
Obliczyć długość fali materii odpowiadającą tej cząstce.

Zobacz rozwiązanie! - kliknij na napis "więcej" znajdujący się poniżej.

Cząstka alfa to pojedyncze jądro helu, a więc dwa protony i dwa neutrony.
Dla uproszczenia pomijamy efekty relatywistyczne, które mogą występować.

Dane:

$B=2,5 \cdot 10^{-2} T$

q=2e (składa się z dwóch protonów, a pojedynczy proton posiada ładunek elementarny e)

$m_{\alpha}=2m_{p}+2m_{n}\aprox4m_{p}$

R=5cm=0,05m

Stałe fizyczne:
$e=1,6 \cdot 10^{-19} C$
$h=6,626 \cdot 10^{-34} Js$
$m_{p}=1,67 \cdot 10^{-27) kg$

Szukane:

$\lambda_{br}=?$

Skoro cząstka alfa jest w polu magnetycznym i porusza się po okręgu oznacza to że zachodzi równowaga dwóch działających na cząstkę sił - siły lorenza i siły odśrodkowej.

Wzory:

(1) $F_{L}=F_{odśr}$

(2) $F_{L}=qv\timesB=qvB\cos{\phi}=qvB$ we wzorze był iloczyn wektorowy, ale jako że kąt między B i v w tym przypadku jest równy 90 stopni, to mamy wartość maksymalną dla tego wzoru.

(3) $F_{odśr}=\frac{m_{\alpha}v^2}{R}$

(4) $\lambda_{br}=\frac{h}{p}$ wzór na długość fali de Brogie?a czyli inaczej fali materii

(4) $E_{k}=\frac{m_{\alpha}v^2}{2}$ zwykły wzór na energię kinetyczną, tyle że dla cząstki alfa

(5) $p=m_{\alpha}v$

(6) $E_{k}=\frac{p^2}{2m_{\alpha}}$ wzór wynika z powyższych można wyprowadzić, ale nie jest to na tyle skomplikowane żeby było warto to robić

Przekształcenia i podstawienia które należy dokonać:

Widzimy że poszukiwaną wielkość mamy we wzorze (4) i do jej obliczenia brakuje nam pęd, więc zajmiemy się najpierw jego wyznaczeniem.

Do (1) wstawiamy równości z (2) i (3) i mamy:

$qvB=\frac{m_{\alpha}v^2}{R}$

Przekształcamy tak aby otrztmać pędpo jednej stronie:

$qB=\frac{m_{\alpha}v}{R}$

$qBR=m_{\alpha}v$

Teraz podstawiamy z danych za ładunek i z wzoru (5) pęd:

$2eBR=p_{\alpha}$

Możemy więc wstawić wyznaczony pęd do równania (4):

$\lambda_{br}=\frac{h}{2eBR}$

Jak widzimy bardzi łatwo i szybko wyznaczyliśmy ostateczny wzór:
$\lambda_{br}=\frac{h}{2eBR}$

podstawiamy dane:

$\lambda_{br}=\frac{6,626 \cdot 10^{-34} Js}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} C \cdot 2,5 \cdot 10^{-2} T \cdot 0,05m}$

wynik:

$\lambda_{br}=1,654266909 \cdot 10^{-12} m$

Oczywiście zadanie można policzyć wieloma innymi sposobami, ten jednak jest najprostszy i najszybszy.

Jakby były jakieś pytania, poniżej można dodać komentarz