Wydrukuj tę stronę
niedziela, 27 marca 2011 11:54

Zadanie 5 - Pole Grawitacyjne - wysokość orbity

Napisał 
Oceń ten artykuł
(6 głosów)

Obliczyć wysokość orbity kołowej nad równikiem Ziemi dla satelity, który poruszając się w kierunku wschodnim w ciągu doby dwukrotnie przelatuje nad tym samym punktem Ziemi.

Kliknij "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie!

Widzimy że sytuacja ta przypomina nieco sytuację satelity geostacjonarnego, tyle tylko że po logicznym zastanowieniu się stwierdzamy że okres obiegu tego satelity będzie dwa razy mniejszy ? obiegnie dwa razy dowolny punkt, gdy ona się obróci raz

T=\frac{1}{2}T_{Ziemi}=12h=43200s

A więc okres obiegu tego ciała musi być równy połowie okresu obiegu Ziemi ? 12h

Oraz:

F_{d}=F_{g}

A więc siła odśrodkowa działająca na obracające się po orbicie geostacjonarnej ciało musi być równa sile grawitacji. Rozpisując ten warunek mamy:

\frac{mv^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}}

Gdzie R jest promieniem orbity geostacjonarnej a więc jest równy sumie długości promienia Ziemi ?Rz? i wysokości ?H? ? która jest odległością orbity od powierzchni Ziemi i jednocześnie to właśnie ją mamy policzyć. Zapisać więc można:

R=R_{z}+H

Dodatkowo musimy wiedzieć też coś o prędkości z jaką porusza się na orbicie geostacjonarnej dowolne ciało, dzięki temu, że znamy okres obiegu, zadanie stanie się teraz w pełni wykonywalne.

v=\frac{2\pi R}{T}


Mamy szereg wniosków, teraz wystarczy dokonać prostych przekształceń.


Zaczniemy od równowagi sił, bo to dla nas najważniejsze równanie, dzielimy je przez masę ?m? i jednocześnie mnożymy przez promień orbity geostacjonarnej ?R?. Otrzymujemy:

v^2=\frac{GM}{R}
Podstawiamy za v.

Czyli otrzymujemy:

\frac{4 {\pi}^2 R^2}{T^2}=\frac{GM}{R}


Wypada trochę poprzekształcać, otrzymujemy:

4 {\pi}^2 R^3=GMT^2

Przekształćmy tak, aby otrzymać R, otrzymujemy:

R=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}


Teraz warto podstawić za R.



R_{z}+H=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 {\pi}^2 }}


I przekształcić tak aby otrzymać wysokość ?H? ? czyli odległość orbity geostacjonarnej od powierzchni Ziemi ? szukaną wartość. Warto wstawić również M=Mz czyli masa planety której orbita geostacjonarna jest rozpatrywana jest równa masie Ziemi, gdyż planeta ta jest Ziemią jak wynika z treści zadania.



Ostatecznie otrzymujemy:

H=\sqrt[3]{\frac{GM_{z}T^2}{4 {\pi}^2 }} \; \;  ? \; R _{z}

H=3.18 R_z



Standardowo, jeżeli są jakieś pytania prosimy o komentarze.

 

Dodatkowe informacje

  • Poziom kształcenia: szkoła średnia, liceum rozszerzony, uczelnia wyższa
Czytany 7536 razy Ostatnio zmieniany poniedziałek, 22 sierpnia 2011 21:32
mgr inż. Paweł Troka

Owner & CEO
E-Mail: ptroka@fizyka.dk
PTroka on Google+

Strona: fizyka.dk

Najnowsze od mgr inż. Paweł Troka

Artykuły powiązane