Zadanie 2 - kulki na niciach - oddziaływanie elektrostatyczne i grawitacyjne - Fizyka Dla Każdego

Fizyka

Zadania

Elektrostatyka i Elektrodynamika

Zadanie 2 - kulki na niciach - oddziaływanie elektrostatyczne i grawitacyjne

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

środa, 23 marca 2011 00:31

Zadanie 2 - kulki na niciach - oddziaływanie elektrostatyczne i grawitacyjne

Napisał dr inż. Paweł Troka

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (1)

Oceń ten artykuł

(7 głosów)

Dwie jednakowe, przewodzące kulki o masach m wiszą na nieprzewodzących nitkach o długości l dotykając się wzajemnie Po wprowadzeniu na nie ładunku q kulki rozsunęły się na odległość d. Obliczyć wartość wprowadzonego ładunku.

Kliknj "więcej" aby zobaczyć rozwiązanie

Zakładamy że ładunek rozprowadził się równomiernie po kulkach, możemy to zrobić gdyż wiemy o kulkach że są jednakowe i przewodzące.

$q=q_{1}+q_{2}=\frac{q}{2}+\frac{q}{2}$

Rozpatrzmy jak wygląda sprawa oddziaływania:

$F_{c}=\frac{kq_{1}q_{2}}{d^2}=\frac{k\cdot \frac{q}{2}\cdot \frac{q}{2}}{d^2}=\frac{kq^2}{4d^2}$
Jest to siła Coulomba z którą pierwsza kulka przyciąga drugą ale też zgodnie z III zasadą dynamiki newtona siła którą druga przyciąga pierwszą (akcja - reakcja).

Ale zauważmy że kulki nie są nieważkie!
A więc występuje także oddziaływania grawitacyjne między kulką a ziemią (kulka ma niezerowy ciężar).
Kolejne więc oddziaływanie to oddziaływanie grawitacyjne:

$Q_{1}=Q_{2}=mg$
Skoro masa kulek jest równa to ciężar też.

Co więcej nie dość że mamy dwa oddziaływania to jeszcze istnieje między nimi związek! Żeby go zobrazować posłużę się rysunkiem:

Jak widzimy istnieją geometryczne/trygonometryczne związki między tymi dwoma siłami oraz między dwoma wielkościami skalarnymi, widoczne na rysunku:
Kulki na niciach, oddziaływanie grawitacyjne i elektrostatyczne. Fizyka Dla Każdego

$\frac{F_{c}}{Q}=\tan \alpha =\frac{\frac{1}{2}d}{h}$
Można też to sobie tłumaczyć inaczej, po prostu jako proporcję ? siła coulomba jest proporcjonalna do ?h? natomiast ciężar jest odwrotnie proporcjonalny.

Natomiast h, które jest dla nas nieznane możemy wyliczyć z prostego związku zwanego twierdzeniem pitagorasa:
$h^2+(\frac{d}{2})^{2}=l^2$

Przekształcamy go aby otrzymać wielkość h i podstawić ją do związku między siłami opisanego dwa równania wyżej.
$h=\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}$

Aby policzyć ładunek ?q? którym początkowo naładowano połączone kulki, musimy teraz tylko pobawić się w przekształcania wzorów:
$\frac{F_{c}}{Q}=\frac{\frac{1}{2}d}{\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}$

$\frac{d}{2\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}=\frac{F_{c}}{Q}=\frac{k\frac{q^2}{4d^2}}{mg}=\frac{kq^2}{4d^2mg}$

Po dalszych przekształceniach:
$\frac{d}{2\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}=\frac{kq^2}{4d^2mg}$

$2q^2k\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}=4d^3mg$

Teraz już tylko wyznaczamy ?q? i po kłopocie:

$q=\sqrt{\frac{4d^3mg}{2k\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}}}=4d \sqrt{\frac{\pi \varepsilon_{0} dmg}{\sqrt{4l^2-d^2}}$

Jeżeli są jakieś pytania, napisz komentarz.