Warto wykonać rysunek (bardzo poglądowy - błędne oznaczenia itd.):
Na rysunku rozważamy hipotetyczny punkt B, wiemy że natężenie pola elektrostatycznego (wypadkowe) w tym punkcie jest sumą wektorów natężeń obu ładunków w tym punkcie, możemy to zapisać jako:
Zapisać możemy skalarnie, dodawanie składowych powyższych wektorów:
(1)
Jak widzimy wszystko zależy od odległości od punktu na symetralnej. Teraz należy uogólnić, możemy to zrobić na niejeden sposób:
a) Wykorzystując kąt
Więc wstawiając i uogólniając, mamy, że:
b) Po prostu wykorzystując odległość punktu B od środka symetralnej:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Wstawiamy to do równania (1)i mamy:
Obie metody są poprawne i tak naprawdę obie zwracają te same wyniki.
Teraz zajmijmy się punktem symetralnej w którym wypadkowe natężenie pola jest maksymalne i policzmy jego wartość.
Widzimy że o wartości maksymalnej decyduje iloczyn sinusa i kwadratu cosinusa. Obliczamy zatem pochodną iloczynu względem kąta i przyrównujemy do zera, aby znaleźć ekstremum tego iloczynu.
Po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej:
Otrzymujemy dwa rozwiązania. Jednakże pierwsze rozwiązanie odrzucamy, ponieważ przy y dążącym do plus/minus nieskończoności w granicy osiąga wartość zero, zaś drugie rozwiązanie posiada jak najbardziej sens fizyczny.
Znak plus bądź minus będzie nam tłumaczył czy wybraliśmy kąt (wychylenie) o zwrocie w kierunku dodatnich bądź ujemnych wartości na prostej Y.
Komentarze
Kanał RSS z komentarzami do tego postu.