Iloczyn skalarny (ang. dot product - "wynik kropkowy") dwóch wektorów a i b (gdzie ? to kąt wewnętrzny) jest zdefiniowany jako
W książkach akademickich przyjęto stosować następujący zapis dla iloczynu wektorowego, pogrubiając wektory w odróżnieniu od wielkości skalarnych:
Dla fizyka równie ważna jest następująca postać wzoru
Wzór (2) jest wzorem ogólnym, dlatego w przypadku rozpatywania wektorów w dowolnej przestrzeni n -wymiarowej, będzie odpowiednio n składników sumy ai bi, przy czym w trzeciej formie zapisu stosuje się konwencję sumacyjną Einsteina.
1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie XY.
Wykażmy prawdziwość wzoru (2) dla płaszczyzny na podstawie wzoru (1). Przyjmujemy także (zgodnie z rysunkiem), że ? i ? to kąty pomiędzy wektorami odpowiednio a i b a osią OX.
Funkcja cosinus może być zapisana jako cosinus różnicy kątów:
Na podstawie rysunku znajdujemy potrzebne nam do wzoru (3) zależności trygonometryczne:
Wstawiając wzór (3) już z podstawieniami trygonometrycznymi do wzoru (1) i skracając długości wektorów a i b, otrzymujemy:
2. Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni XYZ.
Rozpatrzmy teraz sytuację w przestrzeni 3D, ponownie posługując się rysunkiem.
Skorzystamy z wektora r będącego różnicą wektora a i b (5). Tak naprawdę może to być różnica b i a. Będzie nam potrzebna wyłącznie wartość wektora r (6).
Dodatkowo posłyżymy się niedocenionym twierdzeniem cosinusów.
Widzimy, że z tego równania cosinusów (7) możemy wyłączyć interesujący nas fragment, a mianowicie:
Potrzebne są teraz wzory na wartość wektorów a i b:
Podstawmy teraz wzory (6),(9),(10) do wyrażenia po prawej stronie wzoru (8). Po skwadratowaniu pierwiastków i nawiasów znaczna część wyrażenia się zredukuje i pozostanie tylko
Ostatecznie wzór (1) przybiera postać
Komentarze
Pytanie do zastanowienia się, ale także i jasnego zdeklarowania: czy chcecie Państwo pomagać uczniom przebrnąć przez gombrowiczowską szkołę naginając się do jej absurdów, czy przygotować do studiów, samodzielnej nauki i pomóc rozumieć naukowe i techniczne teksty pisane zgodnie ze współczesnymi konwencjami akademickich podręczników i publikacji.
Czy - jeśli, jak w tym przypadku, są one rozbieżne - należy stosować konwencje takie, jak w polskich licealnych podręcznikach, czy raczej te, jakich używają podręczniki akademickie, Phys.Rev., Wiki i Świat Nauki, ewentualnie wspominając (z pewnym obrzydzeniem... ), że w szkole można czasem spotkać inne oznaczenia.
Przesłanie artykułu: "dot product" == "wynik działania oznaczanego kółeczkiem".
Symbolu "" użyłem, żeby podkreślić zastosowanie mnożenia skalarnego do wektorów oraz aby odróżnić go od zwykłego mnożenia skalarów dla osób nie zaznajomionych z takim zapisem. Prawdą jest, że początkowo pisałem przy użyciu "". Osobiście, mając na myśli iloczyn skalarny, zapisuję go zwykłą kropką (jak używa J.R.Taylor w "Mechanice klasycznej") a częsciej w ogóle bez kropki (jak to czyni A. Januszajtis lub G. Białkowski).
Dodam, że poznając iloczyn skalarny w szkole średniej, zaprezentowano go, używając symbolu "", informując jednocześnie o możliwości pisania zwyczajowego symbolu mnożenia.
Szczerze powiedziawszy używamy tego w taki sposób głównie ze względu na to żeby odróżnić zwykłe mnożenie od iloczyny skalarnego, bo właśnie do zwykłego mnożenia stosujemy poniższe pierwsze:
Natomiast do mnożenia skalaranego zawsze powyższe drugie
także z tego względu że uważamy iż bardziej elegancko to wygląda
Notację taką można było znaleźć w polskich podręcznikach szkolnych z czasów mojego dzieciństwa (i przedwojennych niemieckich), ale - od co najmniej lat 1980' nawet w Polsce została zastąpiona przez powszechnie przyjętą anglosaską konwencję z kropką.
Czyżby w podręcznikach szkolnych jeszcze uchowało się to przedwojenne kółeczko?
ba, elegancko wyprowadzone.
Kanał RSS z komentarzami do tego postu.