Iloczyn skalarny

Fizyka

Wyprowadzenia wzorów

Iloczyn skalarny

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

Polecane książki

niedziela, 20 lutego 2011 14:43

Iloczyn skalarny

Napisał mgr inż. Vojtech Mańkowski

wielkość czcionki zmniejsz wielkość czcionki powiększ czcionkę
Wydrukuj
Email
Comments (8)

Oceń ten artykuł

(7 głosów)

Iloczyn skalarny (ang. dot product - "wynik kropkowy") dwóch wektorów a i b (gdzie ? to kąt wewnętrzny) jest zdefiniowany jako

$\vec{a} \circ \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\gamma \qquad (1)$

W książkach akademickich przyjęto stosować następujący zapis dla iloczynu wektorowego, pogrubiając wektory w odróżnieniu od wielkości skalarnych:

$\mathbf{ab} = \vec{a}\cdot\vec{b}$

Dla fizyka równie ważna jest następująca postać wzoru

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} = \delta_{ij}a_{i}b_{j} \qquad (2)$

Wzór (2) jest wzorem ogólnym, dlatego w przypadku rozpatywania wektorów w dowolnej przestrzeni n -wymiarowej, będzie odpowiednio n składników sumy a_ib_i, przy czym w trzeciej formie zapisu stosuje się konwencję sumacyjną Einsteina.

1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie XY.

Wykażmy prawdziwość wzoru (2) dla płaszczyzny na podstawie wzoru (1). Przyjmujemy także (zgodnie z rysunkiem), że ? i ? to kąty pomiędzy wektorami odpowiednio a i b a osią OX.

2D, 3D i wektor r

Funkcja cosinus może być zapisana jako cosinus różnicy kątów:

$\cos\gamma = \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \qquad (3)$

Na podstawie rysunku znajdujemy potrzebne nam do wzoru (3) zależności trygonometryczne:

$\cos\alpha=\frac{a_{x}}{|\vec{a}|}\qquad\cos\beta=\frac{b_{x}}{|\vec{b}|}$

$\sin\alpha=\frac{a_{y}}{|\vec{a}|}\qquad\sin\beta=\frac{b_{y}}{|\vec{b}|}$

Wstawiając wzór (3) już z podstawieniami trygonometrycznymi do wzoru (1) i skracając długości wektorów a i b, otrzymujemy:

$\mathbf{ab} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\gamma = a_{x}b_{x} + a_{y}b_{y}$

2. Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni XYZ.

Rozpatrzmy teraz sytuację w przestrzeni 3D, ponownie posługując się rysunkiem.

Skorzystamy z wektora r będącego różnicą wektora a i b (5). Tak naprawdę może to być różnica b i a. Będzie nam potrzebna wyłącznie wartość wektora r (6).

$\vec{r} = \vec{b} - \vec{a} = [b_{x}-a_{x}, b_{y}-a_{y}, b_{z}-a_{z}] \qquad (5)$

$|\vec{r}| = \sqrt{(b_{x}-a_{x})^2 + (b_{y}-a_{y})^2 + (b_{z}-a_{z})^2} \qquad (6)$

Dodatkowo posłyżymy się niedocenionym twierdzeniem cosinusów.

$|\vec{r}|^2 = |\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2- 2\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\gamma \qquad (7)$

Widzimy, że z tego równania cosinusów (7) możemy wyłączyć interesujący nas fragment, a mianowicie:

$|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\gamma = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{r}|^2}{2} \qquad(8)$

Potrzebne są teraz wzory na wartość wektorów a i b:

$|\vec{a}|=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2} \qquad(9)$

$|\vec{b}|=\sqrt{b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2}\qquad(10)$

Podstawmy teraz wzory (6),(9),(10) do wyrażenia po prawej stronie wzoru (8). Po skwadratowaniu pierwiastków i nawiasów znaczna część wyrażenia się zredukuje i pozostanie tylko

$\frac{2a_{x}b_{x}+2a_{y}b_{y}+2a_{z}b_{z}}{2}$

Ostatecznie wzór (1) przybiera postać

$\mathbf{ab} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\gamma=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Czytany 33721 razy Ostatnio zmieniany piątek, 23 grudnia 2011 18:25

Opublikowano w Wyprowadzenia wzorów

Z etykietą

Podziel się tym z innymi

mgr inż. Vojtech Mańkowski

Rola: Redaktor, Korekta
E-Mail: vojtaman@gmail.com

Strona: fizyka.dk

Najnowsze od mgr inż. Vojtech Mańkowski

Artykuły powiązane

Iloczyn wektorowy

Więcej w tej kategorii: Iloczyn wektorowy »

Komentarze

+1 #8 mgr inż. Vojtech Mańkowski 2011-10-15 16:19

Bardzo dziękuję za zwrócenie uwagi na tę dość poważną literówkę.

Cytować | Zgłoś administratorowi

+1 #7 Maciek 2011-10-15 15:13

sin beta = By/|b| ?

Cytować | Zgłoś administratorowi

+2 #6 mgr inż. Vojtech Mańkowski 2011-10-09 17:25

Po przeczytaniu cennej uwagi zmieniłem część artykułu tak, aby zaznajomić Czytelnika z każdą z trzech możliwości formalizowania iloczynu skalarnego, wiedząc, że w różnych szkołach stosuje się nie zawsze te same zapisy.

Cytować | Zgłoś administratorowi

+1 #5 xts 2011-10-08 14:56

Widzę, że jesteśmy w temacie "szkoła dla siebie samej w oderwaniu od reszty świata" - szkoła od 70 lat nie zauważyła, że konwencje się zmieniły i nadal uczy tych przedwojennych.
Pytanie do zastanowienia się, ale także i jasnego zdeklarowania: czy chcecie Państwo pomagać uczniom przebrnąć przez gombrowiczowską szkołę naginając się do jej absurdów, czy przygotować do studiów, samodzielnej nauki i pomóc rozumieć naukowe i techniczne teksty pisane zgodnie ze współczesnymi konwencjami akademickich podręczników i publikacji.
Czy - jeśli, jak w tym przypadku, są one rozbieżne - należy stosować konwencje takie, jak w polskich licealnych podręcznikach, czy raczej te, jakich używają podręczniki akademickie, Phys.Rev., Wiki i Świat Nauki, ewentualnie wspominając (z pewnym obrzydzeniem... ), że w szkole można czasem spotkać inne oznaczenia.

Przesłanie artykułu: "dot product" == "wynik działania oznaczanego kółeczkiem".

Cytować | Zgłoś administratorowi

+1 #4 mgr inż. Vojtech Mańkowski 2011-10-07 14:47

Odpowiedź na pytanie xts:

Symbolu " $\circ$ " użyłem, żeby podkreślić zastosowanie mnożenia skalarnego do wektorów oraz aby odróżnić go od zwykłego mnożenia skalarów dla osób nie zaznajomionych z takim zapisem. Prawdą jest, że początkowo pisałem przy użyciu " $\cdot$ ". Osobiście, mając na myśli iloczyn skalarny, zapisuję go zwykłą kropką (jak używa J.R.Taylor w "Mechanice klasycznej") a częsciej w ogóle bez kropki (jak to czyni A. Januszajtis lub G. Białkowski).
Dodam, że poznając iloczyn skalarny w szkole średniej, zaprezentowano go, używając symbolu " $\circ$ ", informując jednocześnie o możliwości pisania zwyczajowego symbolu mnożenia.

Cytować | Zgłoś administratorowi

0 #3 dr inż. Paweł Troka 2011-10-05 22:47

Cytuję xts:

W kilku miejscach na Państwa stronie - również tutaj - zauważyłem iloczyn skalarny oznaczany kółeczkiem (TeX: \circ), a nie kropką (TeX: \cdot).
Notację taką można było znaleźć w polskich podręcznikach szkolnych z czasów mojego dzieciństwa (i przedwojennych niemieckich), ale - od co najmniej lat 1980' nawet w Polsce została zastąpiona przez powszechnie przyjętą anglosaską konwencję z kropką.

Czyżby w podręcznikach szkolnych jeszcze uchowało się to przedwojenne kółeczko?

Szczerze powiedziawszy używamy tego w taki sposób głównie ze względu na to żeby odróżnić zwykłe mnożenie od iloczyny skalarnego, bo właśnie do zwykłego mnożenia stosujemy poniższe pierwsze:
$\cdot \circ$
Natomiast do mnożenia skalaranego zawsze powyższe drugie

także z tego względu że uważamy iż bardziej elegancko to wygląda

Cytować | Zgłoś administratorowi

-2 #2 xts 2011-10-05 22:33

W kilku miejscach na Państwa stronie - również tutaj - zauważyłem iloczyn skalarny oznaczany kółeczkiem (TeX: \circ), a nie kropką (TeX: \cdot).
Notację taką można było znaleźć w polskich podręcznikach szkolnych z czasów mojego dzieciństwa (i przedwojennych niemieckich), ale - od co najmniej lat 1980' nawet w Polsce została zastąpiona przez powszechnie przyjętą anglosaską konwencję z kropką.

Czyżby w podręcznikach szkolnych jeszcze uchowało się to przedwojenne kółeczko?

Cytować | Zgłoś administratorowi