v0.398pre-alpha

Fizyka Artykuły Równanie kwadratowe najważniejszym równaniem nauki
Google+

Korepetycje

Znajdź korepetytora!

piątek, 15 maja 2015 20:18

Równanie kwadratowe najważniejszym równaniem nauki

Napisał 

Równanie kwadratowe niewątpliwie należy do zbioru najważniejszych równań w matematyce i fizyce. Moim zdaniem to niebanalne równanie jest równaniem najważniejszym. Stanowi podstawę rozumienia otaczającego nas świata, procesów zachodzących w przyrodzie i zjawisk występujących w różnych dziedzinach nauki.

Artykuł został podzielony na kilka części. Dzięki temu, ktoś kto kiedyś dużo obcował z matematyką a potem miał sporą przerwę będzie mógł przypomnieć sobie podstawy związane funkcją kwadratową. W artykule występują również zaganienia, których zrozumienie wymaga wiedzy z zakresu matematyki wyższej.

1.Podstawy

Z tego rozdziału dowiesz się większości podstawowych informacji dotyczących funkcji kwadratowej. W przypadku chęci szerszego omówienia podstaw związanych z tematyką funkcji kwadratowej odsyłam do podręczników matematycznych/fizycznych oraz internetu.

Funkcja kwadratowa jest to inaczej wielomian 2 rzędu. Warto o tym pamiętać, gdyż mając podstawową wiedzę na temat wielomianów często możemy zastosować ją również w równaniach kwadratowych.

Funkcja kwadratowa w ogólnej postaci wygląda następująco:

1 1 Rownanie

W geometrii analitycznej wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Omówmy znaczenie poszczególnych współczynników a, b i c:

a-współczynnik kwadratowy. Jeżeli a jest dodatnie czyli a>0 parabola na wykresie jest rysowana ramionami do góry, w przeciwnym wypadku gdy a jest ujemne czyli a<0 parabola jest rysowana ramionami do dołu. Oczywistym jest, że w przypadku gdy a=0, równanie kwadratowe degeneruje się do równania liniowego.

b-współczynnik liniowy, decydujący o położeniu odciętej wierzchołka paraboli względem osi X. Gdy b jest dodatnie czyli b>0 to odcięta wierzchołka leży na ujemnej stronie osi X, w przeciwnym przypadku gdy b jest ujemne czyli b<0, odcięta wierzchołka paraboli leży na dodatniej stronie osi X. Dla przypadku b=0 współrzędna x-wa wierzchołka paraboli P(xw,yw) ma wartość zerową czyli xw=0.

c-współczynnik stały, decydujący o miejscu przecięcia się paraboli z osią Y.

Na poniższym rysunku przedstawiono kilka przykładów, wykresów parabol w zależności od doboru poszczególnych współczynników funkcji kwadratowej.

1 2 .RozneRownania

Aby znaleźć miejsca przecięcia się paraboli z osią X, inaczej miejsca zerowe funkcji kwadratowej należy w pierwszej kolejności przyrównać funkcję do zera. W kolejnym kroku istnieje kilka możliwości na wyznaczenie miejsc zerowych.

   1.Wyznaczenie miejsc zerowych przez zastosowanie wzoru na wyróżnik równania. Często używa się też stwierdzenia: wyznaczanie miejsc zerowych przez ?zastosowanie wzoru na deltę?.

-wyznaczamy wyróżnik równania kwadratowego ze wzoru:

1 3 WyroznikRownania

-wyznaczmy miejsca zerowe ze wzorów:

1 4 MiejscaZerowe

UWAGA! W zależności od wartości delty mamy do czynienia z przypadkami:

-gdy ?>0 oznacza, że istnieją dwa miejsca zerowe

-gdy ?=0 oznacza, że istnieje jedno miejsce zerowe(często mówi się podwójne miejsce zerowe)

-gdy ?<0 oznacza, że nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb Rzeczywistych.

   2.Wyznaczanie miejsc zerowych wykorzystując wzory skróconego mnożenia. Przykład:

1 5 WyznaczanieWzoruSkroconegoMnozenia

Znając wzór skróconego mnożenia

1 6 WyznaczanieWzoruSkroconegoMnozenia2

Możemy rozpisać podane w przykładzie równanie kwadratowe jako:

(x-3)(x+3)=0 skąd wyznaczmy miejsca zerowe x1=3, x2=-3.

   3.W przypadku gdy wyraz wolny jest równy zero czyli c=0, zawsze jednym z miejsc zerowych jest zero. Przykład:

1 7 xPrzedNawiasem

W tym przykładzie wyciągamy x przed nawias:

1 8 xPrzedNawiasem2

Stąd wyznaczmy miejsca zerowe: x1=0, x2=2.

   4.Stosując wzory Vieta. Jest to metoda nieco bardziej zaawansowana, zwana czasem metodą zgadywania. Osoby biegłe w matematyce często potrafią rozwiązywać równania kwadratowe w pamięci stosując tą metodę. Metoda ta polega na rozwiązaniu poniższego układu równań:

1 9 xPrzedNawiasem3

   5.Metody, których tutaj nie będę omawiał takie jak np. Siatka Hornera stosowana do szukania miejsc zerowych wielomianów(również tutaj może być stosowana, gdyż jak już wcześniej zostało wspomniane równanie kwadratowe też jest wielomianem), metoda współczynników całkowitych- w przypadku gdy współczynniki równania kwadratowego są liczbami całkowitymi.. i inne.

 

2.Przykłady zastosowania równania kwadratowego

Przykład 1. RELATYWNE WYDŁUŻENIE CZASU-jedno z najważniejszych zagadnień obecnych czasów i przyszłości.

Żyjąc w dzisiejszych czasach wypadałoby wiedzieć, że podróże w czasie to nie jest żadna fikcja ale coś oczywistego. Jednym z najlepszych przykładów jest synchronizacja czasu w satelitach latających wokół Ziemii, z czasem na Ziemii. Czas na ziemskich zegarach upływa wolniej niż czas w zegarach satelity. Gdyby nie synchronizacja czasu satelit z czasem ziemskim mogłoby się okazać, że GPS, który pokazuje naszą pozycję oszukuje nas.

 2 1 Einstein

Przykład praktyczny:

Pasażerowie statku kosmicznego odbyli podróż z prędkością v=0.99c(c-prędkość światła) względem Ziemi. Według zegarów znajdujących się na pokładzie statku podróż trwała to=1rok.

a)Jaki był czas t tej podróży według zegarów znajdujących się na Ziemi? [2]

W zadaniu wykorzystamy wzór na relatywne wydłużenie czasu, który zostanie przedstawiony w formie równania kwadratowego:

2 2 Rownanie

 

W zadaniu szukamy t.

Za pomocą metod omówionych w podrozdziale 1, możemy zastosować rozłożenie powyższego równania na dwa człony stosując wzory skróconego mnożenia(patrz przykład 2, rozdział 1).

 2 3 Rownanie2

Sens fizyczny będzie miało dodatnie rozwiązanie powyższego równania a więc:

2 4 Rownanie3

Podstawiając dane z zadania to=1rok, v=0,99c otrzymujemy, że t=7lat. A więc odpowiedzią na zadane pytanie jest iż podróż wg. zegarów znajdujących się na Ziemi trwała 7lat.

 

Przykład 2. SZTUCZNA INTELIGENCJA-WYKORZYSTANIE TWIERDZENIA PITAGORASA.

Prosta gra RPG: wyobraźmy sobie, że mamy ikonę gracza oraz przeciwnika, którego zadaniem jest nas gonić. Co pewien mały odcinek czasu obliczana jest odległość między położeniem postaci przeciwnika a położeniem postaci gracza. Zobrazujmy to przykładowym rysunkiem:

3 1 AIRysunek

Położenie gracza oraz przeciwnika jest określane przez punkty koloru niebieskiego. Współrzędne gracza (player.x,player.y), współrzędne wroga(enemy.x, enemy.y). Co pewien mały odcinek czasu komputer oblicza różnicę odległości przeciwnika względem gracza- różnica współrzędnych X oraz różnica pomiędzy współrzędnymi Y-kowymi gracza i przeciwnika.

Przykładowy wycinek z kodu w języku C++ dotyczący omawianego zagadnienia:

//Implementation of AI

       if(events.timer.source==enemy1TypeTimer)

       {

              if(fabs(player.x-enemy.x)>fabs(player.y-enemy.y))enemy.choDir=2;//go right or left

              elseenemy.choDir=1;//go top or bottom             

 

              //Artificial intelligence used:

              enemy.active=true;

              if(enemy.choDir==1){

                     if(enemy.y<player.y)

                     {

                           enemy.y+=enemy.moveSpeed;

                           enemy.dir=DOWN;

                     }

                     else

                     {

                           enemy.y-=enemy.moveSpeed;

                           enemy.dir=UP;

                     }

              }

              elseif(enemy.choDir==2)

              {

                     if(enemy.x<player.x)

                     {

                           enemy.x+=enemy.moveSpeed;

                           enemy.dir=RIGHT;

                     }

                     else

                     {

                           enemy.x-=enemy.moveSpeed;

                           enemy.dir=LEFT;

                     }

              }

Jeżeli różnica współrzędnych po osi X jest większ niż różnia współrzędnych po osi Y, przeciwnik ma poruszać się w prawo albo w lewo w zależności od tego czy gracz jest po lewej czy po prawej stronie względem przeciwnika. W przeciwnym przypadku(instrukcja else) zachodzi analogia i przeciwnik porusza się w górę albo w dół.

 

Odległość pomiędzy graczem a przeciwnikiem jest określona na podstawie RÓWNANIA PITAGORASA:

3 3 RownanieAI

 

Przekształcając powyższe równanie do postaci:

3 4 Rownanie2AI

 

Mając wyprowadzony wzór na odległość pomiędzy przeciwnikiem a graczem możemy zaprogramować warunek, że przeciwnik ma gonić gracza jeżeli ten jest w dostatecznie bliskiej odległości od niego. W efekcie otrzymujemy sytuacje, w której gracz po zbliżeniu się na odpowiednią odległość do przeciwnika jest przez niego zauważony i ten zaczyna go gonić. Jeżeli jednak gracz oddali się z powrotem na dostatecznie dużą odległość ten przestaje go gonić i wraca na swoje miejsce początkowe. W tak niebanalny sposób została opisana jedna z wielu najprostszych i podstawowych metod implementowania sztucznej inteligencji w grze komputerowej.

 

Przykład 3. MECHANIKA TECHNICZNA, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE DRUGIEGO RZĘDU,RÓWNANIA LAGRANGE?A II RODZAJU, RÓWNANIE OSCYLATORA HARMONICZNEGO, WAHADŁO MATEMATYCZNE[3].

Na chwile obecną można powiedzieć, że większość zagadnień z otaczającego nas świata można opisać za pomocą wykorzystania równań różniczkowych. Większość skomplikowanych układów w mechanice technicznej, których konstrukcja jest bardzo skomplikowana i złożona sprowadza się do opisu przez równania różniczkowe drugiego rzędu. W tym przykładzie zostaną zastosowane równania Lagrange?a II rodzaju, aby lepiej się z nimi zaznajomić odsyłam do Internetu i literatury.

Polecenie: Wyznaczyć równanie opisujące ruch wahadła prostego[3].

4 1 RysunekWahadla

l-długość wahadła, g-przyspieszenie ziemskie, ?-kąt odchylenia z położenia równowagi.

Wyznaczamy energie kinetyczną, energie potencjalną a następnie Lagrangian.

Energia kinetyczna:

4 2 R1

Energia potencjalna:

4 3 R2

Lagrangian:

4 4 R3

Teraz możemy przekształcić współrzędne w takie oto relacje:

4 5 R4

Następnie obliczamy ich pochodne dla równania Lagrangianu:

4 6 R5

Lagrangian przyjmie postać:

4 7 R6

Zobaczmy, że teraz istnieje tylko jedna uogólniona współrzędna czyli kąt. Na podstawie wyznaczonego Lagrangianu wyznaczamy:

4 8

Możemy nareszcie skorzystać z równania ruchu,

4 9

i podstawić wyznaczone człony do niego. Po uproszczeniach otrzymamy:

4 10

Podstawiając:

4 11

 do równania wyżej i przy założeniu że dla małych kątów sin(?)??, otrzymamy tzw. równanie oscylatora harmonicznego:

4 12

Równanie to jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu (przy czym drugą pochodną po czasie w tym równaniu można traktować jako przyspieszenie a funkcję teta od czasu jako położenie zależne od czasu), które zwykle rozwiązuje się przez podstawianie:

4 13

Po wdrożeniu podstawienia otrzymujemy równanie kwadratowe, które należy rozwiązać aby dojść do rozwiązania:

4 14

W powyższym równaniu wyróżnik jest ujemny a więc rozwiązanie opiera się o liczby zespolone. Dalsze obliczenia zostaną pominięte a wynikiem rozwiązania równania oscylatora harmonicznego(dla przyjętych wcześniej założeń) jest:

4 15

Powyższe rozwiązanie można przekształcać do innych postaci znając zależności występujące pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a liczbą Eulera.

Omawiane w tym przykładzie zagadnienie ma bardzo szerokie zastosowanie i można je stosować w w przełożeniu na zagadnienia, takie jak np. klocek ze sprężyną:

4 16

i wielu wielu innych.

Przykład 4. CHEMIA, ELEKTROLIZA, UKŁADY ELEKTRYCZNE, PRAWO OHMA.

Przejdźmy od razu do przykładu. Podczas elektrolizy roztworu wodnego H2SO4 moc prądu elektrycznego wynosi P. Po pewnym czasie t na elektrodzie wydzielił się wodór o masie m. Znając opór elektryczny elektrolitu R, stałą Faradaya F=9,65*104 C/mol oraz masę 1 kilomola wodoru h=1g/mol obliczyć ten czas t.

5 1Rysunek

 

 Wiemy, że w roztworze H2SO4 następuje dysocjajcja elektrolityczna:

5 1 Bm

Dzięki temu przez elektrolit może płynąć prąd elektryczny. Jednowartościowe kationy H+ kierują się do katody natomiast dwuwartościowe aniony SO4-2 , przeciwnie- do anody. Podczas przepływu prądu na katodzie będzie wydzielał się wodór.

Wiemy, że prawo Ohma wyraża się jako I=U/R natomiast moc prądu przepływającego przez elektrolit P=UI.

Przekształcając wzór na moc otrzymamy P=I2R.

Z Pierwszego prawa elektrolizy Faradaya wiemy, że:

M=kIt=kq

Przy czym k jest to równoważnik elektrochemiczny. Jest on powiązany ze stałą Faradaya drugim prawem elektrolizy Faradaya(z uwzględnieniem, że wartościowość wodoru wynosi 1):

k=h/F.

 

Podstawiając zależność z drugiego prawa Faradaya do pierwszego otrzymamy, że

I=m/kt=mF/ht

Podstawiając tą zależność do r przekształconego równania na moc prądu przepływającego przez elektrolit otrzymamy:

5 2

Przekształcając powyższe równanie do nieco innej formy:

5 3

 

otrzymujemy równanie kwadratowe. Za pomocą metod omówionych w podrozdziale 1, śmiało możemy powiedzieć, że równanie to ma dwa rozwiązania. Ze względu na sens fizyczny bierzemy pod uwagę tylko rozwiązanie dodatnie, czyli:

 

 5 4

Przykład 5. NANOTECHNOLOGIA, SIECI KRYSTALOGRAFICZNE, PRAWO PITAGORASA W ZASTOSOWANIU DO GEOMETRII PRZESTRZENNEJ.

Przykład będzie dosyć banalny ale właśnie przez to chciałbym pokazać, jak dużo ma wspólnego znajomość podstaw stereometrii, w działach nauki bardzo zaawansowanych technologicznie, takich jak np. nanotechnologia.

Przykładowym zadaniem będzie wyznaczenie dla struktury heksagonalnej gęsto upakowanej stosunek wysokości komórki do długości boku podstawy:

6 1Rysunek

 

Rysunek pomocniczy do zadania. Lepsze zobrazowanie struktury heksagonalnej gęsto upakowanej można znaleźć[7]

Fioletowa kulka symbolizuje pojedynczy atom. Jest ona narysowana w ten sposób tylko na potrzeby zadania. W rzeczywistości rozmiar kulki jest ZNACZNIE WIĘKSZY! Rzeczywistą wielkość atomu bardziej pozwoli zrozumieć zależność pomiędzy promieniem atomu r a długością boku a podstawy bryły. Zależność 1:

6 2

Warto wiedzieć, że rozpatrywane wielkości długości w zadaniu są rzędu Angstremów (czytaj Anksztremów):

6 3

Są to zatem wielkości bardzo małe, nie mierzalne gołym okiem. Na podstawie rysunku można stwierdzić, że związek pomiędzy wysokościami trójkątów ABC i A?B?C? jest następujący(Zależność 2):

6 4

Znając wzór na wysokość trójkąta równobocznego A?B?C? można zapisać zależność (Zależność 3):

6 5

Na podstawie Twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta A?B?C? możemy zapisać :

6 6

gdzie c jest wysokością bryły przedstawiającej strukturę heksagonalną gęsto upakowaną.

Podstawiając wszystkie 3 zależności do powyższego równania mamy, że

6 7

Ostatecznie dochodzimy do zależności:

6 8

W tym przykładzie nie rozwiązujemy równania kwadratowego, gdyż jak widać jest ono sparametryzowane. Chodzi tutaj głównie o przedstawienie zastosowania równania kwadratowego.

 

Przykład 6. RZUT UKOŚNY.

Rzut ukośny odzwierciedla jeden z najczęściej występujących ruchów w przyrodzie. Do rzutu ukośnego sprowadza się również strzał z pistoletu, karabinu, działa, kopniecie piłki przez piłkarza, rzut piłką przez koszykarza, rzut oszczepem, rzut młotem? można by tak wymieniać bez końca.

 

Przykład praktyczny: Kamień, który wyrzucono pod katem alpha do poziomu spadł w punkcie znajdującym się o d od miejsca wyrzutu. Oblicz prędkość początkową z jaką został wyrzucony kamień.

Wiemy ze wartość przyspieszenia ziemskiego jest stala i wynosi g=9,81 m/s2.

Rozwiązanie:

7 1

 

Jak widać na rysunku torem ruchu kamienia jest parabola. A to już chyba nam coś mówi? Wykresem jakiej funkcji jest parabola? :)

Całkowity czas trwania ruchu tr wyznaczymy obliczając czas t, po którym kamień znajdzie się na najwyższym punkcie toru. Czas tr składa się z dwóch t: czas od wyrzutu do osiągnięcia maksymalnej wysokości(wierzchołek paraboli)+ czas t od osiągniecia maksymalnej wysokości, do momentu aż kamień upadnie.

Gdy ciało wzniesie się na maksymalną wysokość, składowa y-kowa prędkości będzie równa zero.

Mamy zatem warunek:

7 2

Wyznaczając t mamy:

7 3

a zatem czas ruchu wynosi:

7 4

Wiedząc, że składowa pozioma prędkości jest stała, czyli:

7 5

Składową v0x można opisać wzorem na drogę w ruchu jednostajnym:

7 6

Zestawiając ze sobą dwa powyższe wzory otrzymamy:

7 7

Przekształcając otrzymany wzór na d mamy:

7 8

W ten sposób doszliśmy do równania kwadratowego które łatwo jest rozwiązać znanymi już przez nas metodami i wyznaczyć ostateczny wzór na vo. Oczywiście logiczna fizycznie wartość będzie dodatnia:

7 9

Największy zasięg rzutu można osiągnąć przy kącie alpha=45o czego jednak tutaj nie będę udowadniał. Jeżeli ktoś zainteresowany wystarczy wygooglowac odpowiednie zapytanie by otrzymać dokładny opis czemu wartość jest akurat taka a nie inna. Także pamiętaj, że gdy chcesz rzucić np. śnieżką jak najdalej potrafisz staraj się by twój kąt wyrzutu był jak najbliższy 45stopni. Oczywiście przy bardziej złożonych rozważaniach rzutu ukośnego dochodzą jeszcze inne czynniki mające wpływ na tor ruchu i zachowanie wyrzuconego ciała np. lepkość, kształt wyrzuconego ciała, tarcie związane z oporem płynu(np. powietrza), pole grawitacyjne (zależne od położenia geograficznego oraz odległości od powierzchni Ziemii) i wiele innych.

 

Przykład 7. Równania cząstkowe

Jeżeli coś nie jest rozwiązywalne w fizyce w sposób przystępny to najczęściej zagadnienie sprowadza się do opisu przez równania cząstkowe. Równania cząstkowe mają ogromne zastosowanie w fizyce i dziedzinach technicznych. Można nimi opisać niemal każde najcięższe zagadnienie. Jak nie w sposób analityczny to numeryczny. Równania cząstkowe są jednym z najcięższych do zrozumienia instrumentów matematyki. Przykładów można podawać wiele od mechaniki płynów, przepływu ciepła, fizykę kwantową, aż do elektrodynamiki.Jednym z popularnych przypadków zastosowania równań cząstkowych jest równanie struny.

Przykład: Równanie struny z warunkami brzegowymi:

8 1

 

Równanie charakterystyczne:

8 2

I na tym chciałbym poprzestać ze względu na stopień skomplikowania zagadnienia. Aby móc zrozumieć tematykę równań cząstkowych trzeba wpierw przebrnąć przez działy takie jak analiza matematyczna, algebra, równania różniczkowe zwyczajne i inne. Zachęcam do studiowania przedmiotów technicznych by zgłębić wiedzę na temat równań cząstkowych. Chciałoby się jeszcze coś powiedzieć na temat funkcji specjalnych ale na tym już poprzestańmy.

 

Wybrałem równanie kwadratowe jako równanie o wadze największej w przedmiotach ścisłych, gdyż jak widać wymaga ono opanowania pewnej wiedzy z zakresu matematyki, ma ciekawe własności i nieskoczenie długi szereg zastosowań. Mam nadzieje, że udało mi się uzasadnić mój wybór a przedstawione przykłady upewnią czytelnika w przekonaniu, że warto zgłębić wiedzę na temat funkcji kwadratowej i jej własności.

 

P.S. Jestem wielce ciekaw jakiegoś ciekawego zastosowania równania kwadratowego w ekonomii, może ktoś ma jakiś pomysł? Proszę śmiało pisać w komentarzu. A może ktoś ma inny ciekawy pomysł zastosowania równania kwadratowego? Również jestem otwarty na wszelkie pomysły.

 

Bibliografia

1.http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_kwadratowe#mediaviewer/File:Quadratic_equation_coefficients.png

2.K. Jezierski, K.Sierański, I. Szlufarska, Repetytorium zadania z rozwiązaniami, Wrocław 2003, wydawnictwo scripta.

3. http://www.astro.uwo.ca/~houde/courses/PDF%20files/physics350/Lagrange.pdf

4. http://pl.wikipedia.org/wiki/Klasyczny_oscylator_harmoniczny

5. https://theweebrassmonkey.files.wordpress.com/2011/09/twin-paradox-picture.jpg

6.http://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/c_rzeczywista_struktura_materii/Strony/defekty/Dyslokacje.htm

7. http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/maria/pdf/Krys_06_4.pdf

Czytany 3097 razy Ostatnio zmieniany wtorek, 26 maja 2015 10:59
mgr inż. Marcin Piwowarski

Software Developer & Redaktor

Komentarze   

 
+21 #1 mgr inż. Vojtech Mańkowski 2015-05-16 10:44
Super artykuł! Ukazane zostały mocno praktyczne przykłady. Niby takie zwykłe równanie drugiego stopnia : Podoba mi się odgrzebywanie fundamentalnych spraw, żeby pokazać coś nowego i w nowym świetle.
Z mojej strony dodalbym jeszcze np.: 1) odwzorowanie logistyczne (Logistic map); fakt ze jest to rownanie rekurencyjne ale drugiego rzędu - podstawowe i najbardziej znane równanie ukazujące bifurkację. 2) rozwinięcie w szereg Taylora do drugiego wyrazu (czyli własnie kwadratowego), w celu uzyskania przybliżenia potencjału w równaniu schroedingera, dla którego szuka się stanów związanych (bound states) a to ma zastosowanie w :chema fizyczna, fizyka chemiczna, albo chemia kwantowa :D
Cytować | Zgłoś administratorowi
 

Dodaj komentarz


a + ab + a = ? Dane: a=1 b=4.

| Jeżeli w zasobach naszego serwisu nie znalazłeś tego czego szukałeś prosimy napisz do nas na e-mail: sugestie@fizyka.dk a my uzupełnimy te braki |

| Copyright © 2010-2015 by Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk | All Rights Reserved. Kopiowanie treści bez pisemnego zezwolenia zabronione. |
| Polityka prywatności | Regulamin serwisu |

Valid XHTML 1.0 Transitional Poprawny CSS! [Valid Atom 1.0]