Gdy byłem na pierwszym roku studiów i poszedłem do mojego ćwiczeniowcy od analizy matematycznej, gdyż miałem problem z rozwiązaniem jednej trudnej całki, ten sam powiedział do mnie iż: ?Wie Pan.. całki ogólnie są trudne?. Zgadzam się z jego opinią. To zdanie jakoś utkwiło mi w pamięci i pamiętam je aż po dziś dzień. Oczywiście nie chodziło mu o podstawowe całki pokazywane na ćwiczeniach ale takie, których rozwiązanie wymaga ogromnych umiejętności z zakresu CAŁEJ matematyki.

Świetnym dowodem na potwierdzenie tezy iż całki bywają trudne jest fakt iż, niektóre przykłady całek nieoznaczonych mogą zostać rozwiązane bardziej dokładnie przez człowieka niż komputer!

Mówię to całkiem serio i w moim artykule postaram się to udowodnić. Sama nauka całek bez wiedzy o możliwości zastosowania tego narzędzia wydaje się rzeczą bezużyteczną i w rzeczywistości tak jest. Mógłbym to porównać do nauki języka obcego np. hiszpańskiego, gdzie po za samą nauką nie planujemy ani wyjazdu za granice by poużywać tego języka, ani nie robimy tego by np. móc obejrzeć jakiś serial po hiszpańsku itd.

Zastosowanie rachunku całkowego

Czemu znajomość całek jest tak wielce ważna w naukach matematyczno-technicznych?

Po pierwsze jest to podstawa matematyki wyższej, znana od kilkuset lat, a więc niemalże każda nowoczesna rzecz nie mogłaby zostać stworzona bez znajomości rachunku całkowego.

Aby nauczyć się całek, wpierw wypada zaznajomić się z rachunkiem różniczkowym. Zakładam czytelniku że znasz już ten instrument matematyki, bo jeżeli nie to przed przejściem do całek raczej wymagana jest znajomość rachunku różniczkowego; czym jest pochodna funkcji, funkcja pierwotna itd. oraz podstawowa wiedza o metodach rozwiązywania pojedynczych całek nieoznaczonych.

Jeżeli chodzi o rozwiązywanie całek to umiejętność ta jest wymagana przy:

a)rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. W dzisiejszych czasach niemal każde najbardziej skomplikowane zagadnienie fizyczne można opisać za pomocą równań różniczkowych- zagadnienia związane z przepływem ciepła, mechaniką płynów, fizyka relatywistyczna, elektrodynamika i wiele innych zagadnień,

b)obliczanie pól figur na płaszczyźnie o skomplikowanym kształcie,

c)obliczanie objętości brył o skomplikowanych kształtach

d)Wyznaczanie różnych zależności fizycznych jak funkcji opisującej położenie ciała s(t) przy założeniu że znamy funkcje opisująca prędkość ciała v(t), znając funkcję opisującą energię wyznaczyć moc itd.

e)inne..

Wstęp

Całkowanie to inaczej wyznaczanie funkcji pierwotnej. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, czyli wyznaczania pochodnej. Jest jednak pewne zastrzeżenie gdyż operacja całkowania nie jest działaniem jednoznacznym, a rozumieć przez to należy że rozwiązaniem może być rodzina funkcji( mówi się często rodzina całek). Wiąże się to z tym, że po przeprowadzeniu operacji całkowania otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań. Przykład- chcemy znaleźć funkcję pierwotną funkcji 2x, więc korzystamy z powszechnie znanego wzoru całkowania funkcji wykładniczej:

przy czym pamiętajmy, że n?-1.

Tak więc całkując funkcję 2x otrzymamy:

przy czym:

Specjalnie rozpisałem tak prosty przykład, by osoba która miała przerwę w rozwiązywaniu całek przypomniała sobie niezbędne podstawy. Pojawia nam się w rozwiązaniu stała C. Chciałbym zwrócić uwagę, że stała C może być dowolną liczbą. Rozwiązaniami przedstawionej całki mogą być np.:

Zwróciłem na to uwagę ponieważ jako student widziałem, że wielu moich znajomych podczas nauki całek miało problemy ze zrozumieniem sensu stałej C i jakoś utkwiło mi to w pamięci.

Widzimy więc, że mamy do czynienia z całym zbiorem rozwiązań. Jest to tzw. Rozwiązanie ogólne. Rozwiązaniem szczególnym byłoby uzyskanie tylko jednego rozwiązania. Aby uzyskać tylko jedno rozwiązanie musielibyśmy określić granice całkowania. Wzór na całkę oznaczoną:

Jeżeli do poprzedniego przykładu dodamy jakieś granice całkowania, np.:

otrzymamy rozwiązanie szczególne. Na tym poprzestańmy. Kwestie, które poruszyłem we wstępie nie są wstępem do całek ale jedynie omówieniem/przypomnieniem kilku podstawowych mechanizmów analizy matematycznej. Aby zacząć omawianie rachunku całkowego należałoby wpierw omówić czym jest całka, omówić niezbędne twierdzenia itd., czego nie zrobiłem ponieważ zakładam że czytelnik ma podstawy zarówno dotyczące teorii jak i praktyki w rozwiązywaniu przykładów.

Przykłady

Przedstawione tutaj przeze mnie przykłady wymagają dużej wiedzy z zakresu całej matematyki ze szkoły średniej jak wielomiany, wiedzy z zakresu rachunku różniczkowego oraz podstaw z zakresu rachunku całkowego. Samemu zbudowałem takie funkcje, które przenalizowane przez program komputerowy dadzą zupełnie inne rezultaty w stosunku do rozwiązania zastosowanego przez człowieka.

Zadanie:

Znając funkcję v(t) opisującą prędkość ciała w dowolnej chwili t, wyznaczyć funkcję s(t) opisującą położenie tego ciała w dowolnej chwili t, przy założeniu że w chwili początkowej ciało znajdowało się w spoczynku:

Czytelniku! Jeżeli czujesz się na siłach to spróbuj podjąć się wyzwania rozwiązania zagadnienia bez patrzenia w moje rozwiązanie! :)

Zobaczmy analizę powyższych funkcji przez program WolframAlpha:

Link z rozwiązaniem do podpunktu a):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x^2-%281-2^%280.5%29%29x%2B1%29%282x-%281-2^%280.5%29%29%29%2F%28x^4-2x^3%2Bx^2-2x%2B1%29

Link z rozwiązaniem do podpunktu b):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28x*e^%28x^2*ctg3x%29%29%2F%28sin3x%29^2%29%28sin6x-3x%29%29%2F%28e^%28x^2*ctg3x%29%29

Na podstawie odpowiedzi, które otrzymaliśmy od programu można jasno stwierdzić, że są one nieco ?zagmatwane?.

Rozwiążmy powyższe przykłady w taki sposób aby wyniki były bardziej klarowne.

Ponieważ w zadaniu mamy znaleźć s(t) musimy zdawać sobie sprawę z zależności pomiędzy prędkością v(t) a funkcją opisującą położenie ciała w dowolnej chwili czasu s(t):

Rozpatrzmy przypadek a).

Aby znaleźć funkcję s(t) musimy scałkować podaną w przykładzie funkcję:

Na pierwszy rzut oka widać, że Licznik przedstawia postać iloczynową jakiegoś wielomianu. Takie coś powinno dać nam do zrozumienia, że już na wstępie jest to pewnego rodzaju ułatwienie. Dlaczego ułatwienie? Dlatego, że gdyby Licznik był przedstawiony jako ?czysty? wielomian, normalną rzeczą byłoby to, że staralibyśmy się znaleźć miejsca zerowe tego wielomianu by przedstawić go w takiej formie jaką mamy teraz. Kolejną rzeczą, która nachodzi na myśl jest to by rozłożyć wielomian w mianowniku na postać iloczynową. No dobrze ale jak to zrobić? Jeżeli ktoś ma doświadczenie w rozwiązywaniu wielomianów to za pewne zastosuje tutaj powszechnie znane podejścia, siatkę Hornera, metodę współczynników całkowitych itd. Okazuje się, że WSZYSTKIE TE METODY ZAWODZĄ! Zauważmy, że wielomian w mianowniku charakteryzuje się pewną symetrycznością jeżeli chodzi o wartości współczynników: 1,-2,1,-2,1. Wielomian ten należy do specjalnej grupy wielomianów zwanych często ?wielomianami symetrycznymi?. Aby rozwiązać taki wielomian wymagany jest specjalny rodzaj podstawienia. Zajmijmy się więc mianownikiem i przyrównajmy go do zera:

Podzielmy teraz równanie wielomianowe obustronnie przez t². Otrzymamy w ten sposób:

Teraz zastosujemy podstawienie:

Zanim zastosujemy podstawienie w naszym równaniu wielomianowym ułóżmy człony tego równania w odpowiedniej kolejności by ułatwić sobie zadanie:

Specjalnie dodałem 1 do pierwszego nawiasu by móc potem zamienić to na u² ale potem odjąłem 1 by suma tego co zostało dodane do równania i odjęte była równa 0. Po uporządkowaniu równania wielomianowego mamy:

Teraz możemy użyć naszego podstawienia:

Widzimy, że taką drogą postępowania doszliśmy do bardzo prostego tworu jakim jest równanie kwadratowe. Wyznaczając pierwiastki tego równania i przedstawiając to równanie w postaci liniowej mamy:

Zamieńmy teraz zmienne pomocnicze u z powrotem na t:

Pamiętajmy, że wcześniej dzieliliśmy wielomian przez t² więc teraz pomnóżmy nasze równanie przez t²:

Specjalnie nie pisałem t² na początku równania, tylko rozbiłem je na pojedyncze t przed każdym z nawiasów, by wymnażanie przez zewnętrzne t tego co jest w nawiasach było bardziej oczywiste czyli:

Powróćmy teraz do wyznaczania naszej funkcji s(t) i zobaczmy jak będzie wyglądała nasza całka teraz:

Okazuje się, że można skrócić człony z LICZNIKA i z MIANOWNIKA. Teraz zostaje nam jedynie:

Przyjrzyjmy się uważnie powyższej całce. Osoba spostrzegawcza dojrzy zależność pomiędzy licznikiem a mianownikiem. Licznik jest pochodną mianownika. Znając wzór:

wykorzystując tą zależność otrzymamy rozwiązanie ogólne:

Otrzymany wynik zawiera stałą C, o której była mowa we wstępie. Powyższe rozwiązanie to tzw. Rozwiązanie ogólne. Oznacza to, że otrzymaliśmy zbiór rozwiązań albo inaczej rodzinę funkcji. Aby znaleźć rozwiązanie szczególne musimy znać warunek początkowy tzn. informację o tym czy ciało w chwili t=0 było w spoczynku czy w ruchu. Z treści zadania wiemy, że ciało początkowo znajdowało się w spoczynku. Mamy zatem warunek s(0)=0. Wykorzystując tą zależność w rozwiązaniu ogólnym otrzymamy:

Z tej zależności widać jak na dłoni, że C=0. Dochodzimy ostatecznie do rozwiązania szczególnego naszego zadania:

Porównanie otrzymanego wyniku z wynikiem wyliczonym przez program komputerowy pozostawiam czytelnikowi.

Rozpatrzmy przypadek b).

Aby znaleźć funkcję s(t) musimy scałkować podaną w przykładzie funkcję:

Zanim zaczniemy cokolwiek przedyskutujmy kilka rzeczy na początek. Zauważmy, że w liczniku oraz w mianowniku mamy taki sam człon, który można ze sobą skrócić

W rzeczywistości cały ?myk? polega na tym by tego nie robić. Mało tego! Chyba nigdy się nie spotkałeś drogi czytelniku z sytuacją, w której masz za zadanie scałkować funkcję i pierwsze co musisz zrobić to skrócić ze sobą wyrazy podobne.Przykładowo:

W książkach od analizy matematycznej takiej przykłady raczej nie występują z tego względu, że jest to temat zbyt banalny jak na ten poziom matematyki. Postarajmy więc coś sobie uświadomić. Jeżeli jednak skrócilibyśmy człony z licznika i z mianownika otrzymamy funkcję, której scałkowanie będzie dosyć kłopotliwe. Pewnie zastanawia Cię co w takim razie zrobić? Obliczmy pochodną funkcji .

Obliczenie pochodnej funkcji mianownika nie jest wcale takie łatwe jak się może wydawać. Aby wyznaczyć pochodną tej funkcji wprowadziłęm sobie dla ułatiwenia i dla skrócenia zapisu M(t). Zlogarytmuj powyższą zależność stronami:

Znając właśności logarytmów możemy wyciągnąć potęge przed logartym czyli:

 Jak powszechnie wiadomo lne=1. Zróżniczkujmy stronami to co otrzymaliśmy:

Znając wzór sin2x=2sinxcosx, możemy przedstawić równanie w prostrzy sposób:

Przemnóżmy obustronnie przez M(t):

Uporządkujmy nieco równanie:

Podczas ?robienia porządków? znowu skorzystaliśmy ze wzoru sin2x=2sinxcosx oraz wyciągnęliśmy wspólne czynniki przed nawias. No dobrze co się teraz okazuje? Otóż okazuje się, że LICZNIK jest pochodną MIANOWNIKA. Rozwiązując podpunkt a) mieliśmy podobną sytuacje. Wiemy, że

tak więc

Teraz jedyne co nam zostało to wyznaczyć stałą C, korzystając z warunku początkowego s(0)=0.

Z powyższej zależności wynika, że C=0. Tak więc rozwiązanie szczególne wygląda następująco:

Porównując uzyskany przez nas wynik z wynikiem programu komputerowego można jasno stwierdzić, że nasze rozwiązanie jest znacznie dokładniejsze i bardziej klarowne.

Podsumowanie

Z czego wynika rozbieżność w wynikach z programu komputerowego a tymi otrzymanymi przez człowieka? Metody wyznaczania całek z funkcji przez komputer opierają się o pewien wbudowany przez programistę danego programu wzorzec. Przykładowo podajemy do programu jąkąś funkcję, którą chcemy zbadać, a konkretnie chcemy otrzymać wynik po scałkowaniu tej funkcji. Pierwsze co robi program to dopasowuje zadaną funkcje pod wzorzec tzw. ?pattern matching? i stwierdza jakiego rodzaju jest to całka[1]. Kolejnym krokiem programu jest dobranie algorytmu, który scałkuje zadaną funkcję. Cały proces nie jest dokładny, gdyż opiera się o pewną bazę danych wzorców, która jak widać nie rozwiązuje wszystkich problemów. Ten artykuł ma na celu pokazać iż są miejsca w matematyce, gdzie człowiek zadziała bardziej dokładnie od maszyny. Oczywiście jeżeli chcieć aby program komputerowy osiągną tak dokładny wynik jaki otrzymaliśmy sami można by użyć innych metod jak chociażby algorytmy genetyczne, co jednak sprawiło by, że czas rozwiązania danej całki mógłby bardzo się wydłużyć.

Mam nadzieje, że artykuł został napisany w miarę zrozumiałym językiem dla osoby, która zna już dobrze analizę matematyczną :) .

Bibliografia

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_integration

Internetowa aplikacja WolframAlpha:

[2]https://www.wolframalpha.com/